11. Loi de probabilité continue

On considère la fonction f(x) définie par :

f(x) = a x	si x est compris entre 0 et 2
f(x) = 0	sinon

expression dans laquelle la paramètre a est constant.

L’intégrale de -¥ à + ¥ de la densité f(x) doit être égale à 1. Cette intégrale est l’aire du triangle défini par l’origine des axes O, le point A de coordonnées (2,0) et le point B de coordonnée (2, 2a). L’aire de ce triangle est

A = 2 x 2 a /2 = 2 a

La fonction f(x) est donc une densité si a = 1 / 2.

2) La probabilité P(X<0.25) est l’aire du triangle représenté en gris sur la figure. On a évidemment :

P(X<0.25) = 0.25 x 0.125 / 2 = 0.015625

La probabilité P(X>0.5)est l’aire du trapèze hachurée en gris, c’est-à-dire le produit de la demi somme des bases et de la hauteur :

P(X>0. 5) = (0.25 + 1)x 1.5 / 2 = 0.9375

La probabilité P(1<X<1.5) est l’aire du trapèze représenté en rouge.

P(1<X<1.5) = (0.5 + 0.75) x 0.5 /2 = 0.3125

3) Pour calculer la fonction de répartition théorique, on découpe l’ensemble des nombres réels en trois intervalles :

pour x Î] – ¥, 0]	F(x) = 0
pour x Î] 0, 2 [	F(x) = x^2 / 4
pour x Î] 2, + ¥ [	F(x) = 1

En effet, entre 0 et x, la fonction de répartition est l’aire du triangle défini par l’origine des axes, le point de coordonnées (x,0) et le point de coordonnée (x, x/2). L’aire de ce triangle est x² / 4. On aurait pu calculer cette aire à l’aide d’une intégrale.

4) La médiane est définie par l’équation

F(x) = 0.5

Soit :

x² / 4 = 0.5

On trouve x = mé = Ö2 = 1.414

Les quartiles sont définis par les équations :

q1 :	F(x) = x^2 / 4 = 1 / 4
q3 :	F(x) = x^2 / 4 = 3 / 4

On trouve finalement :

q1 = 1

mé = Ö2 = 1.414

q3 = Ö3 = 1.732